昆明理工大学2012考研高等代数试题真题(A卷)

昆明理工大学2012年硕士研究生招生入学考试试题(A卷)

考试科目代码： 837               考试科目名称 ：高等代数        
试题适用招生专业 ：070102计算数学 070103 概率论与数理统计 070104应用数学 071101系统理论 071102系统分析与集成          
考生答题须知
1． 所有题目（包括填空、选择、图表等类型题目）答题答案必须做在考点发给的答题纸上，做在本试题册上无效。请考生务必在答题纸上写清题号。
2． 评卷时不评阅本试题册，答题如有做在本试题册上而影响成绩的，后果由考生自己负责。
3． 答题时一律使用蓝、黑色墨水笔或圆珠笔作答（画图可用铅笔），用其它笔答题不给分。
4． 答题时不准使用涂改液等具有明显标记的涂改用品。
1、 （10分）求 整除 的条件。
2、 （15分）求 .
3、 （20分）设方程组 的解是方程 的解，令 ， ， ，证明： 可以由 线性表示。
4、 （10分）设 是 阶方阵，且 。证明： 。
5、 （15分）求  的逆矩阵。
6、 （20分）设 是数域 上全体 阶方阵构成的空间， 是 中全体对称方阵构成的子空间， 是 中全体反对称方阵构成的子空间。证明： 。
7、 （15分）设 是线性空间 中一组向量， 是 的一个线性变换。证明： 。
8、 （15分）设 是线性空间 的一个可逆线性变换， 与 是 的两个子空间，且 。证明： 。
9、 （10分）设 ， 。证明： 与 不相似。
10、（20分）在 中定义内积为 。求 的一组标准正交基。